Un critère de divisibilité par 7

Découvert ce matin en lisant le numéro de janvier 2020 de Sciences et Vie Junior, un critère de divisibilité dont j’ignorais l’existence, mais sur lequel il existe cependant une mention sur la page Wikipedia dédiée aux critères de divisibilité. L’article en question attribue cette astuce à un jeune écolier africain, mais j’imagine qu’elle était connue depuis quelques temps. En voici le principe.

Soit un nombre N. On effectue la division euclidienne de N par 10: N = 10a + b

Alors N est divisible par 7 si et seulement si a+5b est divisible par 7 (l’article Wikipedia propose a-2b, ce qui marche de la même manière). Pour déterminer si a+5b est divisible par 7, on procède de manière récursive, en effectuer une nouvelle division euclidienne par 10. Le critère de divisibilité par 7 est donc un peu plus difficile à utiliser que les critères les plus simples, pour la divisibilité par 2, 3, 5 ou 9.

Exemple:

  • 2492 est-il divisible par 7?
  • 2492 s’écrit 249×10+2, on va donc tester la divisibilité par 7 de 249+5×2=259.
  • 259 est-il divisible par 7?
  • 259 s’écrit 25×10+9, on va donc tester la divisibilité par 7 de 25+9×5=70.
  • 70 est divisible par 7, donc 2492 l’est également

L’explication est simple. Si a+5b = 7k, alors 10a + b = 70k -50b + b = 7x(10k-7b).

Sympa, non?

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