Les contre-exemples en mathématiques

Je ne sais pas pourquoi passé la cinquantaine, les vieux taupins que nous sommes se remettent, parfois, aux maths de prépa. Est-ce un vice, le symptôme d’une passion refoulée, ou bien une forme originale de démon de midi? Je n’en sais rien, mais je constate le phénomène avec amusement puisque je suis moi-même concerné. Je me suis remis à lire des bouquins de maths d’un niveau post-bac, comme on dit de nos jours, avec un mélange de plaisir (celui de retrouver une matière fortement appréciée) et de frustration (mon cerveau ne réagit plus au quart de tour, et certains exercices qui étaient jadis à ma portée, sont devenus difficiles; question d’entraînement, peut-être). C’est ainsi que je me suis procuré récemment Raisonnements divins, et ce livre étrange, les contre-exemples en mathématiques.

Les notions qui y sont abordées sont des notions de classe prépa, il faut donc un bagage minimum pour s’y plonger. Mais si on en prend le temps, on ne regrette pas le voyage. Bertrand Hauchecorne y couvre la quasi totalité des domaines abordés ne prépa: groupes, anneaux, corps, topologie, limites, intégration, suites et séries, etc. Mais au lieu d’aborder ces domaines de manière traditionnelle, avec un cours, des exemples et des exercices, l’auteur a décidé de se concentrer sur un thème générique: les contre-exemples.

Des contre-exemples de toutes sortes. On y trouve, par exemple, le cas d’une fonction continue sur R, dérivable en tout point de R\Q, mais qui n’est dérivable ni à droite, ni à gauche, en tout point de Q. Ou encore celui, étonnant, d’une partie dun anneau qui n’est pas un sous-anneau, mais qui est un anneau pour les lois de composition induites. Certains cas sont tarabiscotés, mais valent le coup d’oeil, ne serait-ce que pour nous rappeler qu’en mathématiques, comme dans bien des domaine,s il est dangereux de tirer des énoncés généraux en ne nous fiant qu’à notre intuition.

A lire, donc.

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