Pourquoi n’y a-t-il que 5 types de polyèdres réguliers convexes?

J’ai commencé la lecture d’un livre très divertissant, « le grand roman des maths« , écrit par Mickaël Launay. Non pour enfin aimer les maths comme le prétend la jaquette (c’est déjà le cas depuis longtemps), mais par curiosité. Et je ne suis pas déçu. Dès les premiers chapitres, l’auteur présente quelques résultats appliqués à notre vie courante, sans toutefois prendre le temps de les démontrer, ce qui nuirait à l’intelligibilité du texte pour des lecteurs moins avertis. Du reste, et grâce à Wikipedia, il est très facile d’aller retrouver les démonstrations en ligne. C’est le cas du sujet abordé au troisième chapitre, qui porte sur les polyèdres réguliers: il n’en existe que cinq types. Pourquoi donc?


Image tirée du site de Bruno Jarrosson

L’article sur les polyèdres de Platon (Platon n’y est pour rien, la première démonstration sur les cinq types est attribuée à Théétète d’Athènes) propose deux démonstrations de ce résultat. La première est géométrique, la seconde topologique. C’est celle-ci que je vais reprendre ci-après.

On note p le nombre de côtés de chaque face, q le nombre de faces se rencontrant en un sommet, S le nombre de sommets, A le nombre d’arêtes et F le nombre de faces, on a les deux égalités suivantes:
2A = pF
2A = qS

Mais une autre relation lie le nombre de faces, d’arêtes et de sommets: la formule d’Euler. Pour un tel polyèdre, on a:
F – A + S = 2

On en déduit que:
2A/p – A + 2A/q = 2

Soit:
1/p + 1/q = 1/2 + 1/A

Comme p et q doivent par définition être supérieurs ou égaux à 3, on en déduit la liste des couples d’entiers p et q possibles:

  • p=3, q=3: le tétraèdre (la pyramide à base triangulaire)
  • p=3, q=4: l’octaèdre
  • p=3, q=5: l’icosaèdre (20 faces)
  • p=4, q=3: l’hexaèdre (le cube)
  • p=5, q=3: le dodécaèdre (12 faces)

Joli, non? très simple à comprendre et à démontrer, dès qu’on a des bases de géométrie. Pourtant, je ne me souviens pas qu’on enseigne un tel résultat à l’école. Quel dommage !

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A propos de Herve Kabla

Hervé Kabla, directeur général de be angels et co-fondateur de Media Aces

2 commentaires à propos de “Pourquoi n’y a-t-il que 5 types de polyèdres réguliers convexes?”

  1. Soit:
    1/p + 1/q = 1/2 + 1/A
    Bonjour Hervé,

    Merci pour tes articles de blog.

    Pour un ex-mathématicien un peu rouillé, peux-tu stp me détailler comment tu passes

    > de : 1/p + 1/q = 1/2 + 1/A

    > à la liste des couples d’entiers p et q possibles :

    p=3, q=3: le tétraèdre (la pyramide à base triangulaire)
    p=3, q=4: l’octaèdre
    p=3, q=5: l’icosaèdre (20 faces)
    p=4, q=3: l’hexaèdre (le cube)
    p=5, q=3: le dodécaèdre (12 faces)

    Merci !
    Alexis

    • très simple, A étant un entier positif, on déduit que:
      1/p + 1/q > 1/2

      Si p >= 6, 1/p < =1/6, donc -1/p >= -1/6, donc 1/q > 1/2 + 1/p > 1/3 et donc q < 3, ce qui n'est pas possible Situation symétrique avec q >= 6

      Les seuls couples (p, q) possibles dont donc construits avec des entiers p et q <=5, il ne reste plus que ceux-là

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